1955년 그 계산은 왜 실패했나 — 1차원 사슬의 열전도 지수 0.399를 다시 재다

1955년 5월, 로스앨러모스 연구소의 보고서 한 편이 인쇄되었다. 계산기 MANIAC I 앞에 앉은 사람들은 수십 개의 질량을 용수철로 이은, 교과서에나 나올 법한 단순한 문제를 풀고 있었다. 그들이 기대한 것은 평범한 결말이었다. 결과는 달랐고, 그 어긋남은 2026년 10월 arXiv 에도 여전히 논문으로 올라온다.

사인파 하나, 그리고 되돌아온 에너지

초기 조건은 지극히 단순하다. 사슬 전체를 하나의 사인파로 잡아당겨, 에너지를 가장 낮은 모드 하나에 몰아넣는다. 용수철이 완전히 선형이라면 에너지는 영원히 그 모드에 머문다. 그러나 용수철에 비선형 항이 조금이라도 있으면 모드끼리 결합하고, 에너지는 위쪽 모드로 흘러가며 결국 모든 모드에 고루 퍼져야 한다. 열평형, 곧 열화(thermalization)다. 이것이 통계역학이 보장하는 그림이었다.

보고서의 그림에는 N=32, α=1/4, 시간 간격 δt²=1/8 이 적혀 있고, 계산은 약 3만 회의 주기까지 이어졌다. 처음 다섯 개 모드의 에너지를 그린 곡선은 위로 올라갔다가 다시 내려오고, 다시 올라간다. 높은 모드들은 에너지 20 단위를 넘지 못했다. 에너지는 퍼지지 않고 제자리로 돌아왔다. 훗날 이 계산은 페르미·파스타·울람, 그리고 그 계산을 실제로 수행한 메리 칭구의 이름을 붙여 FPUT 로 불리게 된다.

1955년 로스앨러모스 보고서의 도판. 처음 다섯 모드의 에너지가 약 3만 회 주기 동안 제자리로 되돌아온다. N=32, α=1/4, δt²=1/8 — 저작자 미상(보고서 도판 촬영), 퍼블릭 도메인 (Wikimedia Commons)

왜 '지수 하나'가 70년 숙제가 되었나

FPUT 가 던진 질문은 열전도로 이어진다. 1차원 사슬의 양 끝을 서로 다른 온도로 고정하고 흐르는 열류를 재면, 열전도율 κ 는 보통 길이 L 과 무관해야 한다. 그것이 푸리에 법칙이다. 그런데 운동량이 보존되는 비선형 사슬에서는 κ 가 L 의 거듭제곱으로 커진다는 것이 알려져 있고, 지수는 0(정상 확산), 1(탄도 수송), 그 사이(이상 수송)로 갈린다. 운동론(kinetic theory)은 그 중간값으로 2/5, 곧 0.4 를 내놓는다.

문제는 그 지수를 재는 일이다. 분자동역학으로 지수를 얻으려면 κ 와 L 을 양로그 축에 놓고 기울기를 읽어야 하는데, 유한한 크기에서 다른 거동으로 넘어가는 교차(crossover)가 길게 늘어지고, 온도조절기와 사슬이 맞닿는 경계의 열접촉 저항까지 더해져 매우 큰 계가 필요하다. 2026년 10월 7일 공개된 arXiv:2610.09405 의 저자들은 바로 이 계산 비용을 출발점으로 삼는다.

입자를 지우고 장(field)을 남기다

이들이 택한 우회로는 입자를 세는 대신 변위장을 연속체로 기술하는 것이다. 요령은 미시적 상호작용의 성질을 버리지 않는 것이다. β-FPUT 의 용수철은 변위의 제곱에 비례하는 응력을 갖는데, 연속체 기술도 그 삼차 응력 항을 그대로 유지한다. 장은 양 끝에서 Langevin 열욕과 열을 주고받으며, 이산 사슬의 분자동역학을 격자 위의 편미분방정식으로 바꿔 놓은 셈이다.

결정 격자를 따라 퍼지는 진동, 곧 포논. 진동의 진폭은 알아보기 쉽도록 과장되어 있다 — David Berardan, CC BY-SA 3.0 (Wikimedia Commons)

두 번째 장치는 수치 기법에 있다. 힘과 에너지 흐름을 같은 응력식에서 계산하는 보존형(flux-conservative) 공간 이산화를 쓰면, 내부에서 에너지가 새지 않는다. 덕분에 열류를 사슬 안쪽에서 잴 수 있고, 경계의 열접촉 저항이라는 오염원을 측정에서 빼낼 수 있다. 필요한 격자점은 약 10³ 개 수준이다. 입자 수십억 개를 굴리던 계산이 노트북 한 대의 영역으로 들어온다.

0.399 ± 0.004

결과는 논문이 예고한 그 숫자 근처에 떨어졌다. 길이 L 이 8보다 큰 구간, 기준 해상도에서 격자점 10³ 개 이상에 해당하는 영역에서, 맞춘 지수는 0.399 ± 0.004 였다. 운동론이 예측한 2/5, 즉 0.400 과의 차이는 0.001 로, 오차막대 안쪽이다.

여기서 '일치한다'는 말의 무게를 정확히 봐야 한다. 0.001 차이는 오차 ±0.004 에 완전히 묻히므로, 이 계산은 0.4 를 배제하지 못한다. 동시에 0.35 나 0.45 도 배제하지 못한다. 논문이 말하는 것은 정밀한 값의 확정이 아니라, 2/5 근처의 값을 적당한 계산량으로 끌어낼 수 있는 영역이 열렸다는 것이다.

반전: 수렴한 것은 지수뿐이다

논문에서 가장 정직하고 가장 흥미로운 대목은 여기다. 격자를 더 잘게 쪼개 두 단계의 더 미세한 해상도로 계산해 보면, 지수는 안정적으로 유지된다. 그러나 전도율의 진폭, 다시 말해 κ 의 절대적인 크기는 해상도에 계속 의존한다. 격자 간격을 0 으로 보내는 극한에서 절대 전도율이 수렴한다는 증거는 없다. 저자들도 그렇게 주장하지 않는다.

그래서 이 논문의 성취는 '열전도율을 계산했다'가 아니라 '지수를 잴 수 있는 창(window)을 찾았다'이다. L>8 이라는 조건 자체가 유한 크기 영역이며, 그 안에서 기울기가 2/5 근처로 나온다는 것과, 그 기울기가 격자 세분화에 대해 견고하다는 것이 핵심 주장이다. 물리량의 크기는 여전히 수치적 인공물에 매달려 있는데, 그 인공물이 기울기는 건드리지 않는다는 관찰인 셈이다.

경쟁 가설, 그리고 정면으로 맞서는 반론

첫 번째 경쟁 가설은 정상 확산이다. 지수가 0 이라는 주장으로, FPUT 사슬도 충분히 길어지면 푸리에 법칙으로 돌아간다는 것이다. 이 가설의 무기는 교차 길이다. 관측된 2/5 는 아직 정상 영역으로 넘어가기 전의 과도기일 수 있고, 그 과도기가 하필 0.4 근처의 기울기를 흉내 낼 수 있다. 논문의 반론은 측정 위치다. 경계 저항을 걷어낸 내부 열류로 재면, 최소한 이 창 안에서는 0.4 에서 벗어나는 신호가 보이지 않는다는 것이다.

두 번째는 더 근본적이다. 연속체 모델이 과연 이산 사슬의 지수를 대변하는가. 논문은 삼차 응력을 유지했지만 그 위의 고차 항은 버렸고, 격자 상수에 해당하는 척도를 0 으로 보내는 극한과 원래의 이산 극한은 서로 다른 극한이다. 두 극한이 교환 가능하다는 증명은 제시되지 않는다. 이 지점에서 논문은 주장한다 — 미시적 상호작용에서 출발한 기술이므로 같은 보편 부류에 속한다고. 반론자는 여전히 물을 수 있다. 지수가 같다는 것과 같은 현상이라는 것은 다르다.

논문이 인정한 한계, 그리고 남는 질문

저자들이 스스로 적은 한계는 분명하다. 전도율의 진폭은 해상도 의존적이며, 지수의 안정성은 두 개의 더 미세한 해상도 사이에서만 확인되었다. 표본이 두 점이라는 뜻이고, L>8 은 분자동역학이 애초에 넘지 못했던 교차 구간을 겨우 넘긴 크기다. 격자 간격이 0 으로 갈 때의 수렴은 주장하지 않는다. 요약하면 이 논문은 보편 지수에 대한 강한 증거이자, 절대량에 대해서는 조심스러운 유보다.

여기서 독자에게 남는 질문이 하나 있다. 어떤 현상의 지수는 견고한데 진폭은 견고하지 않다면, 우리는 열수송을 '측정'했다고 말할 수 있는가. 지수만 재현되는 모형은 그 현상의 보편 부류를 붙잡은 것이고, 진폭까지 맞아야 하는 모형은 물질의 세부를 붙잡은 것이다. 1차원 사슬에서 2/5 라는 숫자가 의미하는 것은 어느 쪽일까. 그리고 실제 이산 사슬이 L=10⁶ 에서도 0.4 를 유지한다면, 그때 우리는 무엇을 알게 되는 것일까.

참고 자료

Henrique Santos Lima, Matheus M. R. Poltronieri Martins, Lucas Reis e Silva, 'Heat Transport of the β-Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou chain in the long-wave limit', arXiv:2610.09405 (physics.pop-ph), 2026-10-07. https://arxiv.org/abs/2610.09405

본문의 1955년 계산 그래프는 로스앨러모스 보고서 도판을 촬영한 자료이며, 수치(N=32, α=1/4, δt²=1/8, 약 3만 주기)는 그 도판의 캡션에서 확인했다.