자전거는 왜 넘어지지 않는가 — 자이로와 트레일을 직접 계산해 보니

정지 신호에서 막 출발한 자전거가 시속 9킬로미터 남짓, 겨우 사람 걷는 속도로 흔들리며 앞으로 나간다. 핸들은 미세하게 좌우로 떨리고, 앞바퀴는 몇 센티미터씩 옆으로 흔들린다. 그런데 속도를 시속 25킬로미터까지 올리면 같은 사람이 같은 자전거를, 그것도 두 손을 놓고 탄다. 왜 갑자기 안정해지는 걸까.

가장 흔한 설명: "도는 바퀴가 자이로처럼 버틴다"

자전거가 왜 서 있는지 물으면 대개 이런 답이 돌아온다. 바퀴가 팽이처럼 돌고, 팽이는 넘어지지 않으니 자전거도 넘어지지 않는다는 것이다. 실제로 자전거 바퀴는 각운동량을 가진다. 1킬로그램짜리 앞바퀴의 관성모멘트를 0.1킬로그램·제곱미터로 잡고, 반지름 34센티미터 바퀴가 시속 9킬로미터로 돈다고 하면 초당 약 7.4라디안으로 돌고, 각운동량은 0.9킬로그램·제곱미터/초가 조금 넘는다.

문제는 이 값으로 넘어짐을 막을 수 있는지다. 자전거가 좌우로 기울기 시작하는 것을 자이로가 붙잡으려면, 각운동량을 상당한 속도로 세워야 한다. 몸이 10도 넘게 기울 때까지 견디려면 초당 0.17라디안 정도의 세차(자이로의 회전축이 밀려 도는 속도)가 필요한데, 그때 필요한 토크가 0.16뉴턴미터 안팎이다. 라이더와 자전거를 합쳐 80킬로그램으로 보고 기울기 10도에서 생기는 되돌림 토크가 150뉴턴미터 가까이 되니, 자이로가 공급하는 힘은 100분의 1 수준이다. 정지해 있다가 기울면 자이로도 전혀 작동하지 않는다. 바퀴가 서 있는 자전거도 넘어지는 이유가 여기에 있다.

자이로를 없앤 자전거도 달린다

이 의심은 이미 실험으로 확인됐다. 2011년 코이만(Kooijman) 등이 사이언스에 발표한 논문은 앞바퀴와 반대로 도는 보조 바퀴를 달아 전체 각운동량을 0으로 만든, 이른바 두 질량 스케이트 자전거(two-mass skate bicycle)를 만들었다. 이론 예측대로 이 자전거는 스스로 균형을 잡았고, 심지어 트레일이 음수인 조건에서도 그랬다. 트레일 음수란 앞바퀴 접지점이 조향축(핸들을 돌릴 때 회전축이 되는 선)이 바닥과 만나는 점보다 앞에 있는, 겉보기엔 안정과 정반대 배치다.

그러니 자이로설은 틀렸다기보다 좁다. 자이로는 균형에 기여하는 항목 중 하나이며, 자전거마다 비중이 다르다. 실제 균형을 만드는 것은 "넘어지려는 것을 조향으로 되돌린다"는 피드백 고리다.

자전거를 타는 사람 — Petar Milošević, CC BY-SA 4.0 (Wikimedia Commons)

핵심은 앞바퀴가 혼자 도는 방향

자전거가 오른쪽으로 기우는 순간을 생각하자. 이때 앞바퀴가 오른쪽으로 살짝 꺾이면, 앞바퀴 접지점이 몸의 무게중심 아래로 미끄러져 들어가면서 자전거가 다시 일어선다. 즉 "기울면 조향이 기울어진 쪽으로 따라가는 것"이 균형의 본체다. 이 자기 조향을 만들어내는 구조가 트레일과 질량 배치다.

트레일은 조향축이 바닥을 지나는 점과 앞바퀴 접지점 사이의 거리다. 바퀴 반지름 R, 헤드각(조향축이 수직에서 뒤로 기운 각) A, 포크 오프셋(축에서 앞으로 밀려난 정도) O라 할 때 트레일은 (R·cosA − O) / sinA로 계산된다. 700C 여행용 타이어 반지름을 약 340밀리미터, 헤드각 73도로 두고, 포크 오프셋을 45밀리미터로 잡으면 트레일이 약 57밀리미터다. 오프셋을 없애면 104밀리미터까지 늘어난다.

포크 기하와 트레일 개념 도해 — keithonearth, 퍼블릭 도메인 (Wikimedia Commons)

단계별로 따라가는 균형 복원

첫째, 바퀴 접지점은 조향축 회전중심보다 높이가 낮다. 그래서 오른쪽으로 기울면 접지점이 축 아래로 밀리고, 중력이 앞바퀴를 오른쪽으로 밀어 조향을 오른쪽으로 꺾는다. 둘째, 조향이 꺾이면 자전거가 그 방향으로 원호를 그리며 돌고, 원심력이 기운 몸을 반대쪽으로 되돌린다. 셋째, 몸이 세워지면 조향도 저절로 풀린다. 세 동작이 조향 기하만으로 이어지는 고리다.

여기에 무게중심 배치와 타이어의 자체 정렬 토크(타이어가 굴러갈 때 스스로 진행 방향을 향하려는 힘)가 더해진다. 각 요소는 독립적으로 작동하지 않고 서로의 세기를 조절한다. 그래서 같은 트레일이라도 무게 배치가 다르면 체감이 달라진다.

속도가 바꾸는 것 — 자이로의 진짜 역할

자이로는 넘어짐을 막는 것이 아니라, 반대로 기울면 앞바퀴가 그쪽으로 더 빨리 꺾이게 돕는다. 세차 속도는 회전 속도에 반비례하므로, 저속에서는 앞바퀴가 기울기를 너무 빨리 좇아 과조향(원하는 것보다 더 꺾이는 것)으로 흔들리고, 고속에서는 반응이 느려 과소조향으로 흔들린다. 두 극단 사이에 스스로 서는 속도 구간이 생긴다. 참고 문헌의 대표 자전거 모델에서는 대략 시속 12~18킬로미터가 그 구간으로 계산됐다.

정지 상태에서 10도 기울면, 사람 몸 높이를 1.1미터로 볼 때 단진자 모형으로 30도까지 0.6초 남짓이 걸린다. 균형을 되찾으려면 이 0.6초 안에 조향을 되돌려야 한다. 저속에서 흔들리는 이유는 이 시간이 짧고, 필요한 조향각이 크기 때문이다.

이 설명이 틀리는 경우

첫째, 핸들을 잠근 자전거는 빠르게도 세울 수 없다. 자기 조향 고리를 끊으면 나머지 요소가 아무리 좋아도 소용없다. 둘째, 무게중심이 앞바퀴보다 훨씬 앞으로 나가면 기울기만으로 조향이 되돌아오지 않는다. 셋째, 젖은 노면·흙길에서는 타이어가 옆으로 미끄러져 원심력이 제때 생기지 않는다. 넷째, 짐을 많이 실은 여행용 자전거는 트레일을 짧게 잡는데, 짐이 없으면 오히려 불안정하게 느껴진다. 사람이 균형을 잡는 경우도 있다. 스키의 기울기 조절처럼, 기계적 자기 조향이 약한 설계에서도 라이더가 계속 보정하면 탄다.

생활에 적용되는 판단 세 가지

하나, 어린이 자전거의 균형 연습은 저속에서 조향을 크게 움직이는 연습부터다. 자이로에 기대는 감각보다, 기울면 핸들이 그쪽으로 꺾인다는 사실을 몸으로 익히는 편이 빠르다. 둘, 짐을 싣거나 페달을 바꿀 때는 트레일과 조향 감각이 달라진다고 생각하자. 앞바퀴에 무게를 실으면 조향이 무거워지고 자기 조향이 늦어진다. 셋, 타이어 공기압을 너무 낮추면 옆으로 미끄러지는 성질이 커져 자기 조향이 약해진다. 적정 압력은 균형 장치의 일부다.

참고 자료

• Kooijman, Meijaard, Papadopoulos, Ruina, Schwab, "A Bicycle Can Be Self-Stable Without Gyroscopic or Caster Effects", Science 332(6027), 2011.
• Meijaard, Papadopoulos, Ruina, Schwab, "Linearized dynamics equations for the balance and steer of a bicycle", Proc. R. Soc. A 463, 2007.
• Wikipedia, "Bicycle and motorcycle dynamics" (트레일 공식, 자기 안정성 구간, 자이로 항목).
• James Higbie, "The motorcycle as a gyroscope", Am. J. Phys. 42, 1974.

여러분은 자전거를 탈 때, 핸들을 잡고 있는 시간이 얼마나 될까. 두 손을 놓아도 흔들리지 않는 최저 속도를 한번 재 본 적이 있는가.