바닥이 없는 우물 — 역제곱 퍼텐셜이 지워버린 '0번 상태'

수소 원자의 바닥상태는 물리학에서 가장 많이 계산된 숫자 중 하나다. 전자와 양성자의 거리는 0.529 옹스트롬, 결합 에너지는 -13.6 전자볼트. 이 값은 슈뢰딩거 방정식을 풀어 얻은 것이고, 지난 100년 동안 분광학이 소수점 여섯 자리까지 확인해 온 값이다. 그런데 그 방정식에서 딱 한 군데, 중심까지의 거리 r에 반비례하는 힘의 세기를 조금만 키우면 이 바닥상태가 통째로 사라진다. 사라지는 방식도 얌전하지 않다. 전자가 중심으로 빨려 들어가며 파동함수가 무한히 진동하고, 에너지 준위는 하나씩 번호를 매길 수 없게 흩어진다.

2026년 10월 15일 arXiv에 올라온 사카구치 히데츠구와 보리스 말로메드의 논문 「Singular wave functions and quantum collapse in inverse-power potentials」(arXiv:2610.21044)는 바로 이 지점을 해석적으로 파고든다. 퍼텐셜은 U(r) = -U0/(2r^n), 즉 거리의 n제곱에 반비례하는 인력이다. 논문이 던지는 질문은 두 갈래다. 붕괴가 일어날 때 남는 파동함수는 도대체 어떻게 생겼는가, 그리고 그런 상태를 물리적으로 쓸 수 있는 물건으로 되돌리려면 무엇을 잘라내야 하는가.

1/r²은 뉴턴에게는 안전한 우물, 슈뢰딩거에게는 함정

고전역학에서 1/r² 인력은 지극히 얌전하다. 행성은 타원을 그리고, 전자는 원궤도를 돈다. 유효퍼텐셜로 보면 원심력 항 L²/(2mr²)과 인력 항이 같은 1/r²로 비례하기 때문에 두 힘이 정확히 상쇄되는 반지름이 존재하고, 그 주변의 작은 흔들림은 닫힌 궤도로 되돌아온다. 태양계가 수십억 년을 버틴 이유가 여기 있다.

같은 퍼텐셜을 슈뢰딩거 방정식에 넣으면 이야기가 달라진다. 파동함수는 점입자를 향해 곧장 떨어지지 않는다. 대신 r이 0에 가까워질수록 진동의 진폭은 줄고 진동의 횟수는 무한히 늘어난다. 논문이 지적하는 첫 번째 사실이 이것이다. 붕괴가 일어나는 조건에서 정상상태 파동함수는 원점 근처에서 무한히 많은 공간 진동을 갖는다. 파동이 멈추는 것이 아니라, 눈금이 0에 닿을 때까지 점점 촘촘해지는 무늬가 남는다.

수소 원자의 전자 밀도 분포(주양자수 n=2~4). 실제 쿨롱 퍼텐셜에서는 이런 마디 구조가 유한하게 끝나고 바닥상태가 존재한다 — 저작자 PoorLeno, 퍼블릭 도메인 (Wikimedia Commons)

무한 진동이 뜻하는 것 — 마디를 세는 관례가 무너진다

양자역학 교과서는 상태를 마디(node)의 개수로 정렬한다. 마디가 없는 것이 바닥상태, 하나면 첫 번째 들뜬 상태, 이런 식이다. 이 번호 매기기가 성립하는 이유는 파동함수가 원점에서 충분히 빨리 0으로 수렴해서 마디를 셀 수 있기 때문이다. 그런데 원점 근처에서 진동이 무한히 촘촘해지면 셀 마디가 무한히 많아진다. 셈이 끝나지 않으니 '0번'이라는 자리 자체가 비어 버린다.

논문은 이 상태를 결함이 아니라 대상으로 다룬다. 붕괴가 있는 계에서 바닥상태는 없지만, 유한한 에너지를 가진 속박상태들은 규격화가 가능하기 때문에 물리적으로 무의미하지 않을 수 있다고 논문은 주장한다. 즉 '바닥이 없다'는 말은 '아무것도 없다'는 말과 다르다. 사다리의 맨 아래 칸이 사라졌을 뿐, 사다리 자체는 남아 있다.

논문이 실제로 계산한 것 — 점근형과 정확해

저자들이 내놓은 결과는 두 층이다. 첫째는 r이 0으로 갈 때의 점근적 형태로, 이것이 연속 스펙트럼을 빈틈없이 채운다는 것. 둘째는 적절한 조건 아래에서 얻은 정확한 해(exact solutions)다. 붕괴가 일어나는 영역에서는 양자수가 더 이상 이산적인 사다리를 만들지 못하고, 에너지가 연속적으로 흐른다.

수소 원자 바닥상태의 반지름 분포 4πr²|u|². 원점에서 0으로 떨어지는 이 깔끔한 거동이 역제곱 퍼텐셜의 임계점 너머에서는 무한 진동으로 바뀐다 — 저작자 Artem Korzhimanov, CC0 (Wikimedia Commons)

이 계산이 흥미로운 이유는 결과의 모양이다. 보통 특이점 문제는 수치적으로 폭주하거나 발산해서 다루기 어려워지는데, 여기서는 발산이 파동함수의 진동수에 담긴다. 진폭은 오히려 얌전하다. 논문이 '특이 파동함수'라는 표현을 제목에 내건 이유가 여기 있다. 함수가 터지는 것이 아니라, 함수가 셀 수 없이 흔들린다.

반전 — 잘라내면 바닥상태가 돌아온다

논문의 가장 실용적인 대목은 정규화(regularization)다. 퍼텐셜을 중심에서 유한한 거리만큼 떨어진 지점에서 잘라 버리면, 즉 U(r)을 r이 어떤 최소값보다 작을 때 상수로 고정하면 무한 진동이 유한 진동으로 줄어든다. 그 순간 사라졌던 바닥상태가 다시 나타나고, 에너지 스펙트럼은 다시 이산적인 계단이 된다.

이 반전은 물리적으로도 시사적이다. 실제 원자핵은 점이 아니다. 양성자의 전하 반지름은 약 0.84 펨토미터이고, 그 안쪽에서 쿨롱 퍼텐셜은 더 이상 1/r이 아니다. 그러니 자연은 이미 컷오프를 넣고 있다. 문제는 이 컷오프가 계산을 편하게 하려는 인위적 장치인지, 아니면 실제 물리가 붕괴를 막는 진짜 이유인지다. 논문은 전자를 후자로 단정하지 않는다. 다만 잘라낸 퍼텐셜이 수학적으로 깔끔하게 작동한다는 것을 보여준다.

경쟁 가설 — 붕괴인가, 아니면 틀린 모형인가

첫 번째 반론은 '이것은 물리 현상이 아니라 모형의 병'이라는 것이다. 점입자와 정확한 1/r² 퍼텐셜은 어디에도 존재하지 않는다. 그렇다면 무한 진동은 근사가 무너진 자리에서 생긴 인공물이고, 실제 계에서는 처음부터 문제가 되지 않는다. 이 반론은 강력하다. 다만 붕괴가 일어나지 않는 쪽의 조건이 어디까지인지, 즉 컷오프를 얼마나 작게 잡아도 바닥상태가 유지되는지를 따로 계산해야 답이 된다.

두 번째는 임계값에 대한 교과서적 지식이다. 3차원에서 -g/r² 퍼텐셜은 계수가 특정 값(질량과 플랑크 상수를 1로 두면 1/4)을 넘는 순간 바닥상태를 잃는 것으로 알려져 있다. 이 논문은 그 임계선 너머에서 해의 모양이 어떤지, 그리고 그 해를 어떻게 규격화된 형태로 되살릴 수 있는지를 구체적으로 적는다는 점에서 교과서의 한 줄을 확장한다. 세 번째 반론은 시간 의존 문제다. 정상상태가 무한 진동을 품는다고 해서 전자가 실제로 유한한 시간 안에 중심으로 떨어지는지는 별개의 문제이고, 이 논문은 정상상태 방정식을 다룬다.

저자들이 스스로 인정한 한계

논문의 정확해는 '적절한 조건 아래에서' 얻어진 것이다. 일반적인 경우에 대해 닫힌 형태의 해를 준 것이 아니라, 원점 근처의 점근형과 특수한 조건의 정확해를 조합해 그림을 그린다. 다시 말해 스펙트럼 전체를 손에 쥔 것이 아니라, 스펙트럼이 어떤 성질을 가져야 하는지를 보여준 단계다.

정규화 부분도 마찬가지다. 퍼텐셜을 자르는 것은 수학적 처방이지, 그 컷오프의 크기를 자연에서 유도하는 계산이 아니다. 논문은 유한 진동, 바닥상태의 재등장, 이산 스펙트럼이라는 세 가지 정성적 변화를 보이지만, 컷오프를 어디에 두어야 하는지는 독자의 몫으로 남는다. 그리고 이 모든 것은 해석적 결과이며, 실험이나 수치 시뮬레이션으로 확인된 것이 아니다.

그래서 남는 질문

이 논문을 읽고 나면 '바닥상태가 없다'는 문장이 생각보다 훨씬 조용한 문장이라는 것을 알게 된다. 무언가가 폭발하는 것이 아니라, 사다리의 맨 아래 칸이 비어 있고 그 아래로 무한히 많은 칸이 촘촘히 이어져 있을 뿐이다. 문제는 우리가 그 칸들을 셀 수 없다는 것, 그리고 셀 수 없는 것을 상태라고 부를 수 있는지다.

만약 자연이 정말로 컷오프를 넣어 이 붕괴를 막고 있다면, 그 컷오프의 크기는 어디서 오는가. 핵의 유한한 크기인가, 아니면 그보다 훨씬 작은 에너지 규모에서 새로운 물리가 개입하는가. 여러분이라면 이 사다리의 바닥을 무엇으로 채우겠는가.

참고 자료

Hidetsugu Sakaguchi, Boris Malomed, "Singular wave functions and quantum collapse in inverse-power potentials", arXiv:2610.21044 (2026-10-15). https://arxiv.org/abs/2610.21044

이미지: Wikimedia Commons, File:Hydrogen Density Plots.png (PoorLeno, 퍼블릭 도메인) · File:Hydrogen atom radial function.svg (Artem Korzhimanov, CC0).